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椭圆及其标准方程
【考试要求】掌握椭圆的定义、标准方程,理解椭圆的参数方程.
【学习重点】1、椭圆的两个定义及离心率,准线与 a，b，c三个量之间的关系;
2、椭圆方程的求解,定义灵活运用.
【学习难点】椭圆方程的求解,定义灵活运用.
【高考风向标】椭圆是一种重要的圆锥曲线,因而是高考命题的热点之一.常与平面几何、三角函数、向量等以及实际问题相联系来考查椭圆的概念和性质,定值、最值、取值范围等问题将会有所加强,计算要求将有所降低,参数方程可能在考查其他内容时附带考查,一般不会单独命题.
【知识整合】
1、 椭圆的定义:
(1)第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的 等于常数 ( ) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1、F2叫做 ,定点间的距离叫做 .
①当 时,点P的轨迹是线段 ; ②当 时,点P的轨迹不存在.
(2) 第二定义:平面内动点P到定点F的距离和它到定直线 的距离的 是常数 ( )的点的轨迹是椭圆.定点F是 ,定直线 是 ,常数e是
2、 椭圆的标准方程
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椭圆焦点的位置
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方程的形式
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焦点在x轴上
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焦点在y轴上
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| 其中：①焦距为2c，则a，b，c关系为a最大且a2= ；
②由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法是 ；当椭圆是标准方程,但焦点位置不确定时,可应用分类讨论法解答,也可设其方程为 或
③求椭圆方程的基本步骤是： （六个字概括）
3、 椭圆+=1（a＞b＞０）的参数方程为 （ ）
4、 点P(x0,y0)在椭圆+=1（a＞b＞０）的上 ;
点P(x0,y0)在椭圆+=1（a＞b＞０）的内部 ;
点P(x0,y0)在椭圆+=1（a＞b＞０）的外部 .
【基础练习】
（1） 已知F1（-1，0），F2（1，0），满足|PF1|+|PF2|=2 的点P的轨迹
为 ；若|PF1|+|PF2|=2时，点P的轨迹为
（2）F1，F2是椭圆的两个焦点，椭圆上任一点到F1，F2的距离和为常数2a，过F1的直线交椭圆于C、D两点，则△CDF2的周长为
（3）(课本题)已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,则顶点A的轨迹方程
（4）设M是椭圆+=1上的点，F1，F2是焦点，∠F1MF2=300，则 =
（5）平面内与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，则点P的轨迹方程是 ，轨迹是
变式1：若将“1：2”改为“1：3”呢？
变式2：若将“F（2，0）”改为“F（1，0）”呢？
【典型例题】
例1(课本题)求适合下列条件的椭圆的方程:
(1)长轴是短轴的2倍,且一条准线方程为x=-4;
(2)离心率等于0.8,焦距是8; (3)过点M(-2, )和N(1, )的椭圆方程.
平行题： 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,且焦点到椭圆的最短距离为
例2、(1) △ABC的一边BC在x轴上，B、C的中点在原点，|BC|=16，AB和AC两边中线长的和为30，求△ABC的重心G的轨迹方程。
(2)求过点A(2,0)且与圆x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.
平行题：(1)(课本题)已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在直线的斜率之积等于 - ,求顶点C的轨迹方程
(2)动圆C和定圆C1:x2+(y-4)2=64内切而和定圆C2:x2+(y+4)2=4外切,求动圆圆心的轨迹方程
例3、已知点A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,点P是椭圆上的动点,求:|PF1|+|PA|的最小值和|PF1|+|PA|的最大值
平行题：已知点A(-2, ),点F为椭圆+=1的右焦点,点M在椭圆上移动,求|AM|+2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标.
【巩固练习】
1、（01全国）若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为( )
A. B. C. D.
2、已知 为定直线,F为定点,点F不在 上,则以F为焦点, 为对应准线的椭圆有( )
A. 1个 B. 2个 C.1个或2个 D. 无穷多个
3、曲线C1: +=1与C2: +=1(k<9)有相同的（ ）
A。长轴 B。准线 C。焦点 D。离心率
4、点P在椭圆7x2+4y2=28上,则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
5、设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1、F2的距离之差为2,则△P F1F2是( )三角形
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰直角
6、若椭圆+=1的离心率为e=,则m的值为
7、已知点P在椭圆4x2+y2=4上,则x+y的取值范围为
8、和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过Q(2,-3)的椭圆的标准方程是
9、(课本题)点M与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离的比为2:3,点M的轨迹方程 ;
10、(课本题)点P是椭圆+=1上一点,以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为 |
