4.2复数的运算

复数的乘法

教学目标

1．  掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；

2．  理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；

3．  知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质．

教学重点难点

复数乘法运算法则及复数的有关性质．

难点是复数乘法运算律的理解．

教学过程设计

1．  引入新课

前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致．那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？

教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课．

2．  提出复数的代数形式的运算法则：

．

指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式．

3．  引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律．

4．  讲解例1、例2

例1　求 ．

此例的解答可由学生自己完成．然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质： ．

教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：

．

例2         计算 ．

教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算．比如说第一组按 进行计算；第二组按 进行计算．讨论其计算结果一致说明了什么问题？

5．  引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质

教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂．

6．  讲解例3

例3         设 ，求证：（1） ；（2）

讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的．

此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果 ，则 与 还成立吗？

7．  课堂练习

课本练习第1、2、3题．

8．  归纳总结

（1）       学生填空：

　　　； ＝　　　＝　　　　．

设 ，则 ＝　　　， ＝　　　， ＝　　　， ＝　　　．

设 （或 ），则 　　　　， 　　　．

（2）       对复数乘法、乘方的有关运算进行小结．

9．作业

课本习题5.4第1、3题．

复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律证明过程

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．证明如下。

设 ， ，

（1）∵

，

∴        

（2）∵

∴            

（3）∵

∴      

根据乘法法则得出的 ，通常也写成 这个公式很重要。