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4.1 复数的概念
一、教学目标：
1．了解引进复数的必要性，了解人类历史上对数系得认识的发展过程；
2．了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；
2．理解复数的有关概念以及符号表示；
3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；
4．在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
二、教学重点：引进虚数单位i的必要性、对I的规定以及复数的有关概念．
教学难点：复数概念的理解．
三、教学用具：投影仪
四、教学过程
1．提出问题
我们知道，对于实系数一元二次方程 ，当 时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
提出问题后，组织学生学习教科书“引言”部分，使学生了解学习本章知识的必要性，以及了解本章的概貌与主要内容．
2．教师对学生已学过的数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（也可先由学生阅读教科书中相关内容，然后教师进行简明扼要的概括和总结）
3．组织讨论，研究问题
我们说，实系数一元二次方程 ，当 时，没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．
4．引入新数 ，并给出它的两条性质
根据前面讨论的结果，我们引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定：
（1） ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
有了前面的讨论，引入新数 ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是 ）．
5．提出复数的概念
根据虚数单位 的第（2）条性质， 可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成 这样，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：
N* N Z Q R C．
6．讲解例题
例 计算 ．
解： ，
∴
∴原式 ．
说明：本来应该定义复数乘法以后，才能进行计算 及 ，所以，此例可根据实际情况进行选讲．
7．归纳总结
引导学生归纳总结出“内容分析1”中的（1）～（6）点．
五、布置作业
1．复习和预习“复数的概念”．
2．阅读本章的阅读材料“复数系是怎样建立的”．
本教案参考洪立松 陈宗炫老师的教案
正确认识复数的实部与虚部
对于复数 ，实部是 ，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数．
说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助．
关于复数能否比较大小分析
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)
在讲复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项
①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的．
②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度．
③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时， 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．
正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设 ，则 为实数
② 为虚数
③ 且 ．
④ 为纯虚数 且
关于共轭复数的概念
设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．
教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时， 与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．
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