3.8 函数的最大值与最小值（1）

一、教学目标：

1．通过对本课时的教学，使学生掌握函数最大值和最小值的概念，理解和熟悉函数 必有最大值和最小值的充分条件．

2．掌握求在闭区间 上连续的函数 的最大值和最小值的思想方法和步骤．

3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．

二、教学重点：理解连续函数在闭区间上最值的性质，掌握求函数最值的方法和步骤；

    教学难点：理解连续函数在闭区间上必有最大值和最小值的这一性质．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程

    由于本课时图象与例题较多，如能采用多媒体手段进行教学，可节约作图的时间，以提高课堂教学效率．

    1．课题引入

    前面已经明确了函数极值的概念，并掌握了求函数极值的步骤和方法．在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常会遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题，这样的问题有时就可以化为求一个函数的最大值和最小值的问题．教师板书课题：“函数的最大值和最小值”．

    2．设问质疑，释疑

    函数在什么条件下一定具有最大值和最小值？最值与极值的关系如何？求函数的最值的方法与步骤怎样？请看下面的问题：

问题1  已知下图是一个定义在区间 上的函数 的图象．

    教师引导启发学生观察出如下结果：图中 与 是极小值． 是极大值， 是最小值， 是最大值，并引导学生归纳，从而得到结论：

  一般地，在区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值．

    问题2函数 在 上间断或在开区间 上连续是否也必有最大值和最小值呢？

已知下面两个函数和它们的图象．

（1）         （2）

教师引导学生观察分析图象得到如下结果：函数 定义在闭区间 上，但有间断点，没有最大值；函数 定义在开区间（0，1）上，且在（0，1）上连续，没有最大值和最小值．再引导学生深入思考联想，函数 定义在闭区间 上，但有间断点，或定义在开区间 上但连续是否就一定没有最大或最小值呢？回答是否定的．必要时教师可通过图象举出反例，由此得到结论，函数 定义在闭区间 上且在 上连续是使得 有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

问题3 如果函数 在 上连续，在 内可导，那么如何求 在 内的最大值与最小值呢？

教师引导学生观察教科书图3－11，总结步骤并板书如下：

①求函数 在 内的极值；

②求函数 在区间端点的值 ；

③将函数 在各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．例题讲解

例1  （见教科书例1）

注意引导学生对照有关步骤，要求能正确表达、规范书写，同时结合图象，直观认识所得的结论．

说明：

本题用初等数学方法（配方分析法）也可以解答，但导数解法更具有一般性．提醒学生以后解题时，勿就题论题，应发挥联想，尝试一题多解．

例2  求函数 的值域．

分析：由 得 的定义域为 ．问题就转化为求 在闭区间 上的最大值和最小值的问题．考虑其单调性，因为 ，所以 在 上单调递增，故当 时， 时， ．

所以值域为 ．

另解：令 ．

  ，同理可得结果．

4．课堂练习，教科书第138页练习第（1）、（2）题

5．归纳与小结

（1）函数最大值及最小值的点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，端点．

（2）函数 在区间 上连续是 在 上存在最大值与最小值的充分而非必要条件．

（3）本节课介绍的求最值的方法和步骤是指对于在 上连续、在 内可导的函数．

五、布置作业

教科书习题3.9第1（1）、（2）、（3）题．