3.8 函数的最大值与最小值（2）

一、教学目标：

    1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．

2．通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．

3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．

二、教学重点：运用导数求函数的最值在实际问题中的应用．

    教学难点：如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．

    三、教学用具：投影仪

四、教学过程

    1．复习引导

    求可导函数 的最大值和最小值的方法和步骤如何？（学生思考回答）

    2．本课内容引入与分析

    在日常生活、生产和科研中，常常会遇到一些实际问题，这些问题有的可以转化成求函数最大值和最小值的问题（从而引出例题）．

例2  在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

例题分析：

思路一：设箱底边长为x cm，则箱高 cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：

.具体解法见课本．

思路二：设箱底高为x cm，则箱底边长为 cm，则得箱子容积V是x的函数

思路三；对于一用初等方法解答

．由

由

    思路四：由一知当x过小（接近于0）或过大（接近于60）时箱子容积很小，由二知当x过小（接近于0）或过大（接近于30）时箱子容积很小．以上可导函数 或 在各自定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，即是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．请注意这一点．

思路五：从二求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的 ，这个结论是否具有一般性？建议课后完成下列变式题，得出相关的结论．

    变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？

提示：

答案： ．

    例3  （本章章头图中所提出的问题）

圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？

例题分析

分析1：设金属饮料罐高为h，底面半径为R，则材料最省即是表面积最小，且表面积是R和h的二元函数， 必须消去一个自变量．由常数（定值） 代入前式则得S是R的一元函数， （具体解法见课本）．

分析2：初等数学方法解答， （常数），所以当 ，代入

注意：从解答结果发现，罐高与底面直径相等时，所用材料最省．请量一量日常生活中使用的铁皮菜缸，看是否也有这个结论，想一想这是为什么？

    变式：当如图所示的圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？

提示：                                                  ①

                                 ②

②代入①

3．课堂练习

教科书第137页练习第1、2题．

4．本课内容小结

（1）生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法去分析问题；

（2）解题时，应该考虑一题多解、方法对比、注意联想，推测有些问题是否有一般性结论；

（3）注意总结例题中涉及的知识点、重点和难点．

五、布置作业

教科书习题3.9第2、3、4、5题．