3.7 函数的极值

一、教学目标：

1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；

2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；

3．增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．

二、教学重点：正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．

    教学难点：正确掌握“点是极值点”的充分条件及必要条件，灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程

    本节课学习“函数的极值”．

    1．复习引入

    问题1  对于函数 ，利用函数的导数讨论它的单调性．（此题为上一节例2．多媒体展示）

    同学解答并请上台板演，以帮助复习上节课的知识．老师讲评后，用多媒体展示老师自己的解答和函数图象（略）．

    2．新授

    观察函数 图象可知，函数值 比临近 点的其他函数值都要大；函数值 比临近 点的其它函数值都要小．由老师给出函数的定义．（略）

    （此时，多媒体画面上的问题1及其图形向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示定义）

    强调“临近点”的含义，指出函数极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．

    （多媒体画面上的图形与文字再次向上方适当缩小，在同一画面的下方显示如图．有 ）

    问题2  观察图形，说出在极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有何关系．（多媒体画面中，极值的定义与图2消失，问题1的图形适当增大，并增加展示出图象上点 处的切线 变化的动画．给出问题2）

在老师的引导下，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0（本例题中，极值点处的导数为0）；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

（此时，多媒体画面上的图形及问题2向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示出判别 是极大、极小值的方法（略））

    3．例题与练习

    例1  求函数 的极值．（教科书上例1，解略）

    讲解与展示解题过程与图象时，要使学生能够清楚老师的思维过程、求解的一般步骤与书写的格式．

    （结合例1展示利用导数求函数极值的步骤（略））

    练习1  教科书第136页练习第（1）、（2）题．

    请两名学生上讲台板演，其他同学在自己的座位上独立完成，老师巡回检查．讲解后，展示老师的解法、书写和图形．

    说明：

    导数为 0的点不一定是极值点．如函数 ，在 处的导数是0，但它不是极值点．（展示此函数的图形）

    例2  求 的极值．（教科书上例2，解略）

    讲解时应阐述清楚老师的思路与解题的步骤，完整展示书写的格式与函数的图象．并着重说明：导数为0的点不一定是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要条件而非充分条件．

    练习2教科书第136页练习第（3）、（4）题．

    补充例题1  已知函数 ，在 处函数极值的情况是（  ）

    A．没有极值B．有极大值

    C．有极小值D．极值情况不能确定

    解：当 0时， ，知 ；

        当 时， ，知 ；

        当 时， ，且 不存在．

    知 是此函数的极小值点，故选C．展示函数的图象，着重说明：函数的不可导点也可能是极值点．

    补充例题2  求函数 的极值．

    解： 的定义域为R，且 ．

    可知 时， ；而 和 时， 不存在．

由 、 、 三点将定义域分成四个区间，列表：

函数 有极小值 ，有极大值 ．展示函数的图象．

    着重说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点．

    4．归纳小结

    （1）可微函数的极值与其导数的关系．

    第一，函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．

    第二，点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．点是极值点的必要条件是在这点的导数为0．

    第三，函数的不可导点也可能是极值点．

    （2）求解函数极值的步骤是：

    第一，确定函数的定义域；

    第二，求方程 的根；

    第三，用方程 的根，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；

第四，由 在方程 的根左右的符号，来判断 在这个根处取极值的情况．

五、布置作业

教科书习题3．8第1、2题．

课外研究题

1．已知 ，且 ，设 ，试问是否存在实数 ，使 在 上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数．

略解：知 是连续函数， ．由 在 上减，且在（－1，0）上增，知 ，得 ．

2．当 时，证明不等式 成立．

注：此题是上节“课外研究题2”的变式，解题思路可作调整．

解：作函数 ，有 时 时 ，知 是此函数的极大值．知 在 时， ．

同理可证 在 时 ．综上获证．

本教案参考年宋晓勤  李希亮老师的教案