|
3.6 函数的单调性
一、教学目标：
1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；
2．会用导数判断或证明函数的单调性；
3．通过对可微函数单调性的研究，加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力，增强学生数形结合的思维意识．
二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用．
教学难点：灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．
三、教学用具：多媒体
四、教学过程
1．复习引入
问题1 对于函数 ，利用函数单调性的定义讨论它在R上的单调性．（此题是教科书中引例的变式．多媒体展示）
教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．
略解：对任意 ，有 ．
当 时，有 ，知 在其中是减函数；
当 时，有 ，知 在其中是增函数．
2．新授
（多媒体画面中，问题1的解答消失，问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点 处的切线随 变化的动画．给出问题2）
问题2 对于函数 ，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？
从动画中学生不难看出：在区间 内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间 内，函数为减函数，切线的斜率为负；在 时，函数的切线的斜率为0．
（画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）
问题3 对于函数 ，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？
因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间 内导数为正；在区间 内导数为负；在 时，函数的切线的斜率为0．
分段展示结论：一般地，设函数 在某个区间可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数；如果在某区间内恒有 ，则 为常数．
特别说明第三点： 在某区间内为常数，当且仅当 在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行）．
3．例题与练习
例1 （展示教科书上的例1）
题解可引导学生自己完成，教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生， 在 处改变了增减性， 改变了正负符号，为下一节的学习作铺垫．
练习：教科书第134页练习1．
学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略）
例2 （展示教科书上的例2）
师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在 和 处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下 为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）
特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．
练习2教科书习题3．7第2题．
补充练习1函数 的单调递增区间是_____________．
略解：由 ，得增区间为 与 ．
补充练习2 已知函数 ，则函数 在（－2，1）内是（ ）
A．单调递减 B．单调递增
C．可能递增也可能递减 D．以上都不成立
略解：当 时，有 ，递减．故选A．
补充练习3 已知函数 ，则（ ）
A．在 上递增 B．在 上递减
C．在 上递增 D．在 上递减
略解：当 时， ，递减．故选D．
补充练习4 函数 的递减区间是_______________．
略解：要使 ，只需 ，故递减区间为 ．
补充练习5 证明函数 在区间（0，1）上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增．
略证：由 ，在（0，1）上 ，增；在（1，2）上 ，减．
补充练习6 讨论函数 在 内的单调性．
略解：因 ，由 ，得 ，增．由 ，得 ， ，减．
4．归纳小结
（1）函数导数与单调性的关系： 时，增函数； 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．
（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．
五、布置作业
教科书习题3.7第1、2题
课外研究题
1．设函数 ，其中 ，求 的取值范围，使函数 在 上是单调函数．（2000年全国高考题）
略解： ，其中 且 时， 使函数 在 上是单调必然； ，知 ．
2．当 时，证明不等式 成立．
解：作函数 ，当 时， ，知 单调递减；当 时， ．知 在 时， ．
作 ，当 时， ，知 单调递减；当 时， ．知 在 时， ．综上获证．
本教案参考年宋晓勤 李希亮老师的教案
|
