3.4 复合函数的导数（1）

一、教学目标：

1．了解复合函数的概念；

2．会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合；

3．理解复合函数的求导法则，并会简单的运用；

4．提高辨析事物本质的能力．

二、教学重点：复合函数的求导法则的应用；

    教学难点：复合函数的求导法则的证明．

三、教学用具：投影仪

四、教学过程

   1．复习旧知识

（1）初等函数在定义域内每一点都是连续的．

（2）如果函数 在点 处可导，那么函数 在点 处连续．

（3）如果函数 在点 处及其附近有定义，而且 ，就说函数 在点 处连续．

令 ，则 ，又 ，上述连续性理解为 时， ．

（4）若 ，则

2．学习新知识

（1）介绍复合函数的概念

（1）由 与 复合得

像 这样由几个函数复合而成的函数就是复合函数．

一般地，由 得复合函数

（2）增例1  指出下列函数的复合关系：

Ⅰ．   Ⅱ．

Ⅲ．   Ⅳ．

解：Ⅰ．   由 复合而成．

Ⅱ． 由 复合而成．

Ⅲ． 由 复合而成．

Ⅳ． 由 复合而成．

（3）增例2  写出由下列函数复合而成的函数：

Ⅰ．

Ⅱ．

解：Ⅰ．   Ⅱ．

（2）复合函数的求导法则

通过对 展开求导及按复合关系求导，直观地得到 ．

给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明．

注意，不深究此证明的严谨性．

（3）复合函数的求导法则的应用

讲解教科书例1，要求步骤规范，首先设中间变量，再对几个简单函数分别求导，最后应强调把中间变量换成自变量的函数．

（4）归纳小结

请一个学生归纳这节课所学知识，必要时教师适当指导．

（1）形如 的函数称为复合函数．

（2）复合函数求导步骤：分解——求导——回代．

3．反馈练习

教科书练习．

教科书习题3.4第1题（第（3）、（4）题给提示）．

五、布置作业

教科书习题3.4第2（1）、（2）题

补充练习  求下列函数的导数：

（1） ；（2） ．

答案：（1） ；（2）

 本教案部分参考李希亮    雷南根老师的教案