3.4 复合函数的导数（2）

   一、教学目标：

1．掌握复合函数的求导法则；

2．会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题；

3．提高应用数学解决实际问题的意识和能力．

二、教学重点：复合函数求导法则的应用；

    教学难点：复合函数求导法则的灵活运用．

三、教学用具：投影仪．

四、教学过程

1．复习求导法则

让学生回答复合函数定义、求导法则、求导步骤．

本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导．

2．应用求导法则

（1）应用之一  对复合函数式求导

例2  求下列函数的导数：

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．

请学生上台完成．

答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．

注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．

师生一起评议．可表扬四位同学宛成得较好．接着提请注意，熟练后可省写步骤，并作示范．如，解（1）可表达为

这里最后结果可写负指数或分数指数．

出示教科书例3并讲解．

其中对 求 ，可让学生在草稿上完成．此处，教师可作如下指导：

方法一  按商的求导法则可求导．

方法二  先化为 ，即 ，按复合函数求导．

（2）应用之二  解简单的应用问题

增例  当 时，求证：

引导学生分析，联想到二项展开式     （*）

对比展开式通项 与待证和式通项 ，可决定对（*）式求导并赋值 证得．

视学生水平由教师讲解或学生完成证明．

证明：由 ，

两边对x求导，得

令 ，得

注：应向学生讲清 是作为复合函数对x求导的．

对此题再思考．在《排列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不妨重温一下．

方法一  倒序相加法

令        （1）

（1）式右边倒序，写为

    （2）

注意到组合数性质 

（2）式可改写为

    （3）

将（1）、（3）两式相加（注意错位）得

即

∴

即 

方法二  通项变换法

即 

在这一等式中顺次取 ，并相加得

3．反馈练习

学生完成教科书练习第1、2题

4．课堂小结

由 可得复合函数 ．

关于复合函数的导数，要理解法则，掌握步骤，善于应用．

（1）法则 

（2）步骤  分解——求导——回代（熟练后可省写步骤）

（3）应用  能对复合函数求导；能解有关的应用问题

五、布置作业

教科书习题3.4第2（3）（4）、3题．

研究题  已知曲线 在点M处有水平切线，求点M的坐标．

略解：易得

令 ，解得

点M的坐标是（15，76）．

本教案部分参考李希亮    雷南根老师的教案