能力测试一

一、选择题

1．设 在点 处可导，且 ，则 （   ）

A．1  B．0  C．3  D．

2．抛物线 在点 处的切线方程为（   ）

A．   B．   C．   D．

3．函数 的导数是（   ）

A．   B．   C．   D．

4．若函数 取极小值，则x等于（   ）

A．   B．   C．   D．

5．函数 的导数（   ）

A．   B．   C．   D．

6．曲线 在点P处切线与直线 的夹角为45°，那么点P的坐标为（   ）

A．（1，1）  B．（1，1）、   C．   D．

7．函数 （   ）

A．在（0，10）上是减函数              B．在（0，10）上是减函数

C．在 上是增函数，在 上是减函数

D．在 上是减函数，在 上是增函数

8．函数 （   ）

A．最大值为189，最小值为－7     B．最大值为189，无最小值

C．无最大值，最小值为－7         D．既无最大值也无最小值

二、填空题

9．函数 为增函数的区间是____________．

10．函数 的导数是___________．

11．函数 的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是____________．

12．函数 在 处的导数值为 ，则

三、解答题

13．求函数 的导数．

14．研究函数 的单调性、极值及最大（小）值．

15．曲线 上点P处的切线与曲线 也相切，求点P的坐标．

16．如图所示，水渠横断面为等腰梯形．

（1）若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角 为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角 多大时，水流的横断面积为最大？

参考答案：

1．D  2．A  3．D  4．B  5．B  6．B  7．C  8．A 

9． 和   10．   11．   12．2或

13．提示：

14．提示：

函数 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ．

当 时， 取得极大值 ， 时， 取得极小值 ．

当 时， 取得最小值 ， 时， 取得最大值 ．

15．提示：设P点坐标为 ，过P点的切线方程为 ，

即 由

由相切， ，即 ．∴P点为 ．

16．提示：（1）依题意，侧边 ，设下底 ，则上底 ，

又 ，

∴下底 ，

∴横断面被水浸湿周长

∴ ．令 ，解得 ，∴ ．

根据实际问题的意义，当 时，水渠横断面被水浸湿的周长最小．

（2）设水渠高为h，水流横断面积为S，则

∴

令 ，得 或 （舍），故在 内，当 时，水流横断面积最大，最大值为 ．