3.2 几种常见函数的导数

一、教学目标：

    1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式，熟记正弦余弦函数的导数．

    2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数．

3．在公式（2）的推导过程中，培养学生的创新能力．

二、教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对公式（1）、（2）进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题．

    教学难点：公式（2）的推导过程．

三、教学用具：投影仪

四、教学过程：

（一）复习提问

l．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数．

（1） ；（2） 。

目的，练习（1）为推导公式（2）作准备．在求分值时，启发学生应用二项式定理展开 ．练习（2）推导前，首先指出这里 称为常数函数，可设 ，说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C，以避免如下错误：

略解：1．

∴

∴

则

∴

    （二）新课

    1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．

    2．几个常见函数的导数公式

    公式1  （C为常数）．

    此公式前面已证，见教科书第116页．下面，我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为 的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．

    公式1可叙述为：常数函数的导数为零．

    公式2 

    这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有 这道题的基础，可由学生只就 的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页．

    注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n与自变量的 次方的乘积．

公式3 

公式4 

公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前添一个负号．

3．例题精讲

例1  求下列函数的导数：

（1） ，（2） ，（3）

（1）解：

注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性。

（2）解：

（3）解：

目的：通过这一组题的详细讲解，使学生对公式（2）记得更牢固。要求学生今后能熟练地掌握它。

例2  质点运动方程是 ，求质点在 时的速度。

解：∵ 。  ∴ ，

∴ ；答：质点在 时的速度是 。

例3  求曲线 在点 的切线方程

分析：先要利用公式3求出函数 的导函数，然后利用导函数求出曲线在点 的切线的斜率，最后应用点斜式求出切线的方程。

略解：∵   ∴

∴   ∴斜率

∴  切线方程为    化简得

答：曲线 在点 的切线方程为 。

4．课堂练习

（1）默写四种常见的求导公式。

（2）教科书第117页练习1和练习2。

（3）求曲线 在点 的切线方程。

略解： ，

切线方程为 ，即

5．课堂小结

四种常见函数的导数公式。

（1） （C为常数）  （2）

（3）         （4）

五、布置作业

1．求下列函数的导数：

（1）   （2） （a为正整数）  （3） （a为常数）

（4）   （5）

2．教科书习题3.2第2题和第5题。

本教案参考李希亮  程武军老师的教案