3.1 导数的概念（1）

一、教学目标：

    1．了解曲线的切线的概念．

    2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．

3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．

二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．

    教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程：

1．曲线的切线

如图，设曲线C是函数 的图像，点 是曲线C上一点，点 是曲线C上与点P邻近的任一点．作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．

问：怎样确定曲线C在点P处的切线呢？因为P是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为 ，切线PT的倾斜角为 ，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PT的斜率 ，即

例题  求曲线 在点P（1，2）处的切线的斜率k．

解：

∴ ，即 ．

2．瞬时速度

我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数 描述．

下面以自由落体运动为例进行分析．

已知 ．

（1）计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．

（2）求 秒时的瞬时速度．

解：（1） 指时间改变量．

指位置改变量．

其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．

（2）从（1）可见某段时间内的平均速度 随 变化而变化， 越小， 越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是 时， 的极限．

  （米/秒）

问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当 时，平均速度 的极限）

教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻 的瞬时速度的方法如下：

非匀速直线运动的规律

时间改变量 ，位置改变量

平均速度 ，瞬时速度 ．

一般地，如果物体的运动规律是 ，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 这段时间内，当 时，平均速度的极限，即

例题  若一物体运动方程如下：

求此物体在 和 时的瞬时速度．

解：当 时，  

当 时，

所以，物体在 和 时的瞬时速度分别是6和0．

3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）

（1）求 在 处的切线的斜率．

解：

∴

（2）教科书第111页练习第1、2题．

4．课堂小结

（1）曲线的切线．

（2）瞬时速度．

（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．

五、布置作业

1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．

（1） 处，    （2） 处．

2．已知某质点按规律 （米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前3秒内的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；（3）质点在3秒时的瞬时速度．

解：1．（1） ，（2） ；

2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．

本教案参考李希亮  程武军老师的教案