2.1 数学归纳法及应用举例（1）

    一、教学目标：

1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法．

2．理解数学归纳原理的科学性．

3．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤．

4．体会归纳演绎推理的思想；

5．感受归纳法在实际生活中的应用，渗透辩证的思想方法．

二、教学重点：数学归纳法原理的理解和基本步骤；

    教学难点：数学归纳法原理的理解．

三、教学用具：投影仪或多媒体

四、教学过程：

    1．介绍归纳法，引出课题

    ①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，……78＝67＋11，……我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和

②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”．

    这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？（Ⅰ）是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．（Ⅱ）是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．

    数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．

    2．讲清原理，得出方法步骤

    在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ，那么 由以上可知， ，结论的猜测运用

的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？

    ①先看 ，对于 成立吗？（成立）

    ②假设 ，对于 成立，那么当 时，成立吗？即若 成立，当 时， 成立吗？（启发学生从等差数列定义入手， ，进行推导证明．）

    ③这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．

    举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理．

    让学生回忆自己小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数；再数到30以内的数……，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了．为什么呢？（教师注意激活学生原有的学习体验）

    因为会数1，2，3……有了数数的基础，会在前一个数的基础上加1得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了．

    ④得到数学归纳法的两个步骤：

    （Ⅰ）证明当 （如 或2等）时，结论正确；

    （Ⅱ）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．

    3．初步应用，让学生形成新的知识体验

    例1  用数学归纳法证明

    分析：① 是由无数命题组成：

1号命题：

    2号命题：

    3号命题：

……

号命题：

号命题：

……

    ②怎样验算 时，等式成立？

    ③如何实现 到 的过渡？

    ④得到什么式子才能称时等式成立？

    ⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．

    教师边讲边板书，为学生提供一个范例，供证明时模仿．

    4．课堂练习，巩固提高

    板演①②③，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤．

    5．归纳小结

    ①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；

    ②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；

    ③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；

    ④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．

    五、布置作业

    1．教科书习题2.1第1、2题．