例1（宜昌课改）如图1，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

（图2供思考用）

　　　　　解：(1)∵点G与点E关于点F对称，

　　　　　　∴GF=FE 

　　　　　　∵HI∥BC，

　　　　　　∴∠GIF=∠EJF，

　　　　　　又∵∠GFI=∠EFJ，

　　　　　　∴△GFI≌△EFJ，

　　　　　　∴GI=JE 

　　　　　同理可得HG=EK ，

　　　　　∴HI=JK,  

　　　　　∴四边形HIKJ是平行四边形   

　　(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)

　　　（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5 

　　　　　如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F,

　　　　　∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.

　　　　　∵CE＞BE,∴GI＞ HG, ∴CK＞BJ.

　　　　　∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动,               

　　如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上

（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分）                                          

　　　　　设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，

　　　　　∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5-2x ,CE＝-5

　　　　　∵△AGI∽△AEC，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3

　　　　　∴AG∶AE＝GI∶CE.                             

　　　　　∴(5-2x)∶5＝5∶(-5)     

　　　　　∴AF＝5-x＝4       

　　　　　∴＜AF≤4