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1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：
∵∠AOC是⊿ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
又∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO
即∠ABC= ∠AOC
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）,那么结论会怎样?请你说明理由.
2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．
若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．
⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．
3（绵阳）如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为 ，得Rt△AE，如图（2）；
第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图（3）。
利用展开图（4）探究：
（1）△AEF是什么三角形？
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。
5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列① 、 ② 、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。
① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），
其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
例2（连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在 处，两直角边分别与 轴平行，纸板的另两个顶点 恰好是直线 与双曲线 的交点．
（1）求 和 的值；
（2）设双曲线在之间的部分为 ，让一把三角尺的直角顶点 在上
滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段 交于 两点，请探究是否存在点使得 ，写出你的探究过程和结论．
知识点：
解：（1）∵在双曲线 上， ∥ 轴， ∥ 轴，
∴A，B的坐标分别  ， ．
又点A，B在直线 上，∴
解得 或
当 且 时，点A，B的坐标都是 ，不合题意，应舍去；
当 且 时，点A，B的坐标分别为 , ,符合题意．
∴且.
（2）假设存在点使得．
∵ ∥轴， ∥轴，∴∥，
∴  ，∴Rt ∽Rt ,∴ ,
设点P坐标为 （1＜x＜8），则M点坐标为 ，
∴ .又 ，
∴ ，即 （※）
∵ ．∴方程（※）无实数根．
所以不存在点使得 ． |
